已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D...

已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D=∠ACB．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径等于4，tan∠ACB= manfen5.com 满分网

，求CD的长．

（1）应该是相切，连接OB证OB⊥BD即可．本题的基本思路是通过平行线，弦切角定理，等边对等角，来得出相等的角，然后将这些相等的角进行置换，最终转换到一个三角形中，根据三角形的内角和来求出度数．从而得出∠OBD=90°的结论．（2）有了∠ACB的正切值也就有了∠D的正切值，那么可在直角三角形OBD中，有半径的长，有∠D的正切值，可用正弦函数求出OD的长，也就求出了CD的长．【解析】（1）直线BD与⊙O相切．证明：如图，连接OB． ∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D， ∴∠2=∠CBD， ∵AB∥OC， ∴∠2=∠A， ∴∠A=∠CBD． ∵OB=OC， ∴∠BOC+2∠3=180°． ∵∠BOC=2∠A， ∴∠A+∠3=90°． ∴∠CBD+∠3=90°． ∴∠OBD=90°． ∴直线BD与⊙O相切．（2）∵∠D=∠ACB，tan∠ACB=， ∴tanD=． ∵∠OBD=90°，OB=4，tanD=， ∴sinD=，OD==5． ∴CD=OD-OC=1．

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考点分析：

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，sin∠ACD=

．
（1）求AD的长；
（2）求AB的长．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等