Question

如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，切点为B，且BC=4\sqrt{3}．
（1）求圆心O到AC的距离；
（2）求阴影部分的面积．

Answer

（1）首先在Rt△ABC中，根据∠BAC的度数以及BC的长，可求出⊙O的直径；过O作AC的垂线，设垂足为E，在Rt△OAE中，根据⊙O的半径及∠BAC的度数，即可求得OE．
（2）连接OD，阴影部分的面积即为扇形OAD和△OAD的面积差；扇形圆心角∠AOD的度数易求得，而AD的长，可由AB•sinA得出，由此得解．
【解析】
（1）过O作OE⊥AC于E；
∵BC是圆的切线，
∴∠ABC=90°
∵∠BAC=30°，BC=．
∴AB==12，
∴AO=6；
∵∠ABC=∠OEA，
又∠ABC=∠EAO，
∴sin∠ABC=sin∠EAO=30°，
∴OE=AO=3．

（2）连接OD、BD；
∵∠AOD=2∠AOE=120°，
在Rt△ABD中，AD=AB•cosA=；
∴S扇形==12π，S△AOD=AD•OE=××3=；
∴S阴影=S扇形-S△AOD=12π-．