在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是⊙O的直径，弦DE与AC交于点E，且B...

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是⊙O的直径，弦DE与AC交于点E，且BD=BF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．

（1）连接OE，由OD=OE，BD=BF，易证得∠OED=∠F，即可得OE∥BC，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，即可得AC是⊙O的切线；（2）首先设半径为x，易得△AOE∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得半径，继而求得答案．（1）证明：连接OE， ∵BD=BF， ∴∠BDF=∠F， ∵OD=OE， ∴∠BDF=∠OED， ∴∠ODE=∠F， ∴OE∥BC， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠OEA=90°，即OE⊥AC， ∴AC是⊙O的切线；（2）设半径为x， ∵OE∥BC， ∴△AOE∽△ABC， ∴， ∵BC=6，AD=4， ∴AO=4+x，AB=4+2x， ∴，解得：x=4或x=-3（舍去）． ∴⊙O的面积为：16π．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等