如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴...

（1）抛物线的解析式中，令x=0即得二次函数与y轴交点A的纵坐标，令y=0即得二次函数与x轴交点的横坐标． （2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不确定，因此要分成三种情况讨论： ①CD=DE，由于OD=3，OA=4，那么DA=DC=5，此时A点符合E点的要求，即此时A、E重合； ②CE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质知：E点横坐标为点D的横坐标加上CD的一半，然后将其代入直线AC的解析式中，即可得到点E的坐标； ③CD=CE，此时CE=5，过E作EG⊥x轴于G，已求得CE、CA的长，即可通过相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例线段求得EG、CG的长，从而得到点E的坐标． （3）过P作x轴的垂线，交AC于Q，交x轴于H；设出点P的横坐标（设为m），根据抛物线和直线AC的解析式，即可表示出P、Q的纵坐标，从而可得到PQ的长，然后分两种情况进行讨论： ①P点在第一象限时，即0＜m＜8时，可根据PQ的长以及A、C的坐标，分别表示出△APQ、△CPQ的面积，它们的面积和即为△APC的面积，由此可得到S的表达式，通过配方即可得到S的取值范围； ②当P在第二象限时，即-2＜m＜0时，同①可求得△APQ、△CPQ的面积，此时它们的面积差为△APC的面积，同理可求得S的取值范围；根据两个S的取值范围，即可判断出所求的结论． 【解析】 （1）在二次函数中令x=0得y=4， ∴点A的坐标为（0，4）， 令y=0得：， 即：x2-6x-16=0， ∴x=-2和x=8， ∴点B的坐标为（-2，0），点C的坐标为（8，0）． （2）易得D（3，0），CD=5， 设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则： ， 解得； ∴y=-x+4； ①当DE=DC时， ∵OA=4，OD=3， ∴DA=5， ∴E1（0，4）； ②过E点作EG⊥x轴于G点， 当DE=EC时，由DG==， 把x=OD+DG=3+=代入到y=-x+4，求出y=， 可得E2（，）； ③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD， 则△CEG∽△CAO， ∴，又OA=4，OC=8，则AC=4，DC=EC=5， ∴EG=，CG=2， ∴E3（8-2，）； 综上所述，符合条件的E点共有三个：E1（0，4）、E2（，）、E3（8-2，）． （3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC与点Q； 设P（m，-m2+m+4），则Q（m，-m+4）． ①当0＜m＜8时， PQ=（-m2+m+4）-（-m+4）=-m2+2m， S=S△APQ+S△CPQ=×8×（-m2+2m）=-（m-4）2+16， ∴0＜S≤16； ②当-2≤m＜0时， PQ=（-m+4）-（-m2+m+4）=m2-2m， S=S△CPQ-S△APQ=×8×（m2-2m）=（m-4）2-16， ∴0＜S＜20； ∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，-2＜m＜0中m有一个值，此时有三个； 当16＜S＜20时，-2＜m＜0中m只有一个值； 当S=16时，m=4或m=4-4这两个． 故当S=16时，相应的点P有且只有两个．