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(2008•乐山)阅读下列材料: 我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点...

(2008•乐山)阅读下列材料:
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离;即|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离;
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这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1,x2对应点之间的距离;
在解题中,我们会常常运用绝对值的几何意义:
例1:解方程|x|=2.容易得出,在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的x=±2;
例2:解不等式|x-1|>2.如图,在数轴上找出|x-1|=2的解,即到1的距离为2的点对应的数为-1,3,则|x-1|>2的解为x<-1或x>3;
例3:解方程|x-1|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值.在数轴上,1和-2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边.若x对应点在1的右边,如图可以看出x=2;同理,若x对应点在-2的左边,可得x=-3.故原方程的解是x=2或x=-3.
参考阅读材料,解答下列问题:
(1)方程|x+3|=4的解为______
(2)解不等式|x-3|+|x+4|≥9;
(3)若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立,求a的取值范围.
仔细阅读材料,根据绝对值的意义,画出图形,来解答. 【解析】 (1)根据绝对值得意义,方程|x+3|=4表示求在数轴上与-3的距离为4的点对应的x的值为1或-7.(3分) (2)∵3和-4的距离为7, 因此,满足不等式的解对应的点3与-4的两侧. 当x在3的右边时,如图, 易知x≥4.(5分) 当x在-4的左边时,如图, 易知x≤-5.(7分) ∴原不等式的解为x≥4或x≤-5(8分) (3)原问题转化为:a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值.(9分) 当x≥3时,|x-3|-|x+4|应该恒等于-7, 当-4<x<3,|x-3|-|x+4|=-2x-1随x的增大而减小, 当x≤-4时,|x-3|-|x+4|=7, 即|x-3|-|x+4|的最大值为7.(11分) 故a≥7.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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