Question

（2008•乐山）从甲，乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分．
题甲：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）若GE=2，BF=3，求线段EF的长．
题乙：如图，反比例函数y=的图象，当-4≤x≤-1时，-4≤y≤-1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M，N分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN最短（不需证明），并求出线段MN长度的取值范围．

Answer

甲：（1）因为AD∥BC，所以△GED∽△GBC，所以两三角形的对应边成比例；又点E是边AD的中点，AE=ED．此题得证
（2）AD∥BC还可以得到△AEF∽△CBF，又AE=ED，通过等量代换即可得到GE、GB、EF、FB之间的关系．
乙：（1）图象经过A（-1，-4），可用待定系数法求解．
（2）考虑经过原点并且在同一直线上，也就成了线段MN．
甲题：
（1）证明：∵AD∥BC
∴△GED∽△GBC（2分）
∴（3分）
又∵点E是边AD的中点
∴AE=ED
∴（4分）

（2）【解析】
∵AD∥BC
∴△AEF∽△CBF
∴（5分）
由（1）知
∴（6分）
设EF=x，则GB=5+x，
则有（8分）
即x2+5x-6=0
解得：x=1或x=-6，
经检验，x=1或x=-6都是原方程的根，但x=-6不合题意，舍去．
故EF的长为1．（9分）

乙题：
【解析】
（1）因为反比例函数的图象经过点（-1，-4）
有（2分）
∴k=4（3分）
所以反比例函数的解析式为．（4分）

（2）当M，N为-，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．（5分）
将y=x代入，
解得，
即M（2，2），N（-2，-2）．（6分）
∴OM=2．（7分）
则MN=4．（8分）
又∵M，N为反比例函数图象上的任意两点，
由图象特点知，线段MN无最大值，即MN≥4．（9分）