Question

如图所示，足够长的斜面与水平面的夹角为θ＝53°，空间中自上而下依次分布着垂直斜面向下的匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、……、n，相邻两个磁场的间距均为d＝0.5 m．一边长L＝0.1 m、质量m＝0.5 kg、电阻R＝0.2 Ω的正方形导线框放在斜面的顶端，导线框的下边距离磁场Ⅰ的上边界为d₀＝0.4 m，导线框与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.将导线框由静止释放，导线框在每个磁场区域中均做匀速直线运动．已知重力加速度g＝10 m/s²，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：

(1)导线框进入磁场Ⅰ时的速度；

(2)磁场Ⅰ的磁感应强度B₁；

(3)磁场区域n的磁感应强度B_n与B₁的函数关系．

Answer

(1)2m/s；(2)5T(3)

【解析】试题分析：对线框研究，运用动能定理求出导线框进入磁场 I 时的速度；线框进入磁场后受重力、支持力、安培力和摩擦力，根据共点力平衡，结合闭合电路欧姆定律、切割产生的感应电动势公式求出磁感应强度的大小；线框在相邻两个磁场之间加速的距离相等，根据动能定理求出线框进入第n个磁场时的速度，结合共点力平衡，知在每个磁场中所受的安培力均相等，从而求出磁感应强度的表达式。

（1）线框从静止开始运动至刚进入磁场Ⅰ时，以线框为研究对象

由动能定理：

解得： v1＝2 m/s

(2)线框在磁场Ⅰ中做匀速直线运动，由法拉第电磁感应定律：

由法拉第电磁感应定律：E1＝B1Lv1

由闭合电路欧姆定律：

线框受到安培力：F1＝B1I1L

由平衡条件有：mgsin θ－μmgcos θ－F1＝0

解得：B1＝5 T

(3)线框在相邻两个磁场之间加速的距离均为(d－L)＝d0，线框由静止开始运动至刚进入第n个磁场时，由动能定理：

又由上可得线框在第一个磁场Ⅰ中受到的安培力

线框在第n个磁场受到的安培力：

线框在每个磁场区域中均做匀速直线运动，受到的安培力均相等：Fn＝F1

得：