Question

某游乐场的一项游乐设施如图甲所示，可以简化为如图乙所示的模型，已知圆盘的半径为R＝2.5 m，悬绳长L＝R，圆盘启动后始终以恒定的角速度转动，圆盘先沿着杆匀加速上升，再匀减速上升直到到达最高点(整个上升过程比较缓慢)，当圆盘上升到最高点转动时，悬绳与竖直方向的夹角为45°，重力加速度取g＝10 m/s2。求：

(1)圆盘转动的角速度；

(2)若圆盘到达最高点时离地面的高度为h＝22.5 m，为了防止乘客携带的物品意外掉落砸伤地面上的行人，地面上至少要设置多大面积的区域不能通行；

(3)已知甲乙两名乘客的质量分别是m1和m2(m1>m2)，在圆盘加速上升的过程中，他们座椅上的悬绳与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，比较θ1和θ2的大小关系。

Answer

（1） （2） （3）

【解析】(1)设乘客和座椅的总质量是m，悬绳拉力为FT

竖直方向上：FTcosθ＝mg

水平方向上：FTsinθ＝mω2(R＋Rsinθ)

以上两式联立解得ω＝ rad/s。

(2)物品掉落时的速度v＝ω(R＋Rsinθ)＝5 m/s

物品掉落后做平抛运动

竖直方向有h－Rcosθ＝

解得t＝2 s

平抛运动的水平位移为x＝vt＝10 m

设置禁止通行区域半径为R′＝＝15 m

得S＝πR′2＝225π m2。

(3)设加速上升过程中，圆盘上升加速度为a

竖直方向：FTcosθ－mg＝ma

水平方向：FTsinθ＝mω2(R＋Rsinθ)

两式联立可得(g＋a)tanθ＝ω2(R＋Rsinθ)

可见θ与质量无关，即θ1＝θ2。