Question

如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G

(1)求两星球做圆周运动的周期；

(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B ， 月球绕其轨道中心运行的周期记为T₁。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T₂。已知地球和月球的质量分别为5.98×10²⁴kg和7.35×10²²kg。求T₂与T₁两者平方之比。（结果保留三位小数）

Answer

（1）T= (2)

【解析】（1）A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力大小相等，且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，因此有：

mω2r＝Mω2R，r+R＝L
联立解得：R＝ L，r＝L
对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：

化简得：T＝
（2）将地月看成双星，由（1）得T1＝

将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：

化简得：
所以两种周期的平方比值为