Question

为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为，长为的倾斜轨道AB，通过微小圆弧与长为的水平轨道BC相连，然后在C处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道D，如图所示。现将一个小球从距A点高为的水平台面上以一定的初速度水平弹出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下。已知小球与AB和BC间的动摩擦因数均为。取。

求：（1）小球初速度的大小；

（2）小球滑过C点时的速率；

（3）要使小球不离开轨道，则竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件。

Answer

（1）；（2）；（3）。

【解析】试题分析：（1）小球离开弹簧后做平抛运动到达A点，竖直方向：由可知

在A点的速度恰好沿AB方向，由几何关系可知：

水平方向分速度即小球的初速度

（2）从A经B到C点的过程，由动能定理得：

小球滑过C点时的速率

（3）①若小球能通过圆形轨道的最高点，做完整的圆周运动，则其不脱离轨道。

小球刚能通过最高点时，小球在最高点与轨道没有相互作用，重力提供向心力。

根据牛顿第二定律：

小球由C运动到圆形轨道的最高点，机械能守恒：

得：，即轨道半径不能超过1．08m。

②若小球没有到达圆形轨道的与圆心等高处速度就减小到零，此后又沿轨道滑下，则其也不脱离轨道。

此过程机械能守恒，小球由C到达刚与圆心等高处，有：

得：，即轨道半径不能小于2．7m。

③若圆形轨道半径太大，就会与倾斜轨道相交，故圆形轨道半径最大时恰遇倾斜轨道相切。

当圆轨道与AB相切时，由几何关系得：，即圆轨道的半径不能超过1．5m。

综上所述，要使小球不离开轨道，R应该满足的条件是：。

考点：平抛运动，圆周运动，动能定理，机械能守恒定律。