Question

如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G.

(1)求两星球做圆周运动的周期．

(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T₁.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T₂.已知地球和月球的质量分别为5.98×10²⁴ kg和7.35×10²² kg.求T₂与T₁两者平方之比．(结果保留三位小数)

Answer

(1)2π (2)1.01

【解析】(1)mω2r＝Mω2R，r＋R＝L，联立解得

R＝L，r＝L

对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得

＝mL，得T＝2π.

(2)将地月看成双星，由(1)得T1＝2π

将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得＝m，L化简得T2＝2π，所以两种周期的平方比值为＝＝1.01.