Question

如图所示，一个长L₁=0.9m、宽L₂=0.6m的光滑斜面体，其倾角θ=30°．有一长度L=0.4m的轻质绳一端固定在距斜面顶点A为L=0.4m斜面边缘的O点上，另一端系一质量m=1kg的小球．现把小球拉至顶点A处，以v=1m/s的初速度沿斜面顶边缘水平抛出．（g取10m/s²）
（1）刚开始小球做什么运动？并说明理由．
（2）求小球运动至斜面边缘B点时受到绳子的拉力F_T．
（3）若小球运动至B点时绳子刚好断了，求小球从斜面上飞出后落地点与最初抛出点在地面上投影点的距离L₃．

Answer

（1）小球刚开始做类平抛运动，根据牛顿第二定律求出加速度，并说明小球的运动情况．
（2）小球做类平抛运动过程，运用运动的分解法，分析从开始运动到绳子绷紧的时间，求出此时小球的速度．在拉直瞬间，由于绳子不可伸长，小球沿绳子方向的速度瞬间变为零．此后小球运动到B点过程中，只有重力做功，机械能守恒，求出小球运动到B时的速度．小球经过B点时由绳子的拉力与重力沿斜面向下的分力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球运动至斜面边缘B点时受到绳子的拉力FT．
（3）若小球运动至B点时绳子刚好断了，小球做平抛运动，由高度求出时间，再求出水平位移，由几何知识求出小球从斜面上飞出后落地点与最初抛出点在地面上投影点的距离L3．
【解析】
（1）小球沿斜面向下的加速度a==5m/s2
其在斜面上运动可等效看作在g′=a=5m/s2的竖直平面上的曲线运动
由于小球刚抛出的速度v＜m/s，故其开始做类平抛运动．
（2）如图所示，设它运动时间t秒至与水平线的夹角为α时，绳子刚好拉直．由平抛运动公式有：
  ①
  Lcosα=vt②
①②联立并代入数据解得：α=0°，t=0.4s
α=0°，说明小球抛至绳子在水平线时刚好拉直．在拉直瞬间，由于绳子不可伸长，故小球水平速度瞬间变为零，只存在沿斜面向下的速度vy
  vy=g′t=5×0.4m/s=2m/s
以后小球在绳子束缚下沿斜面向下做圆周运动，设至B点时的速度为v2．根据机械能守恒定律，有：
   mg′L+mvy2=mv22
代入数据解得：v2=m/s
根据牛顿第二定律，有：
代入数据解得：FT=25N
（3）绳断后小球以v2做平抛运动，由题意知其高度h′=0.05m，设至落地所需时间为t′，
根据解得：t′=0.1s，水平位移x=v2t′
而本题斜面有效长度在地面投影长度L4=v2t′=0.4m
所求的距离
答：
（1）刚开始小球做类平抛运动．
（2）小球运动至斜面边缘B点时受到绳子的拉力FT=25N．
（3）若小球运动至B点时绳子刚好断了，小球从斜面上飞出后落地点与最初抛出点在地面上投影点的距离L3≈0.75m．