Question

如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角θ=30°、大小为v的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：
（1）粒子能从ab边上射出磁场的v大小范围．
（2）如果带电粒子不受上述v大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间．

Answer

（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，当其轨迹恰好与ab边相切时，轨迹半径最小，对应的速度最小．当其轨迹恰好与cd边相切时，轨迹半径最大，对应的速度最大，由几何知识求出，再牛顿定律求出速度的范围．
（2）粒子轨迹所对圆心最大时，在磁场中运动的最长时间．当其轨迹恰好与ab边相切或轨迹更小时，时间最长，求出圆心角，再求时间．
【解析】
（1）若粒子速度为v，则qvB=，所以有R=
     设圆心在O1处对应圆弧与ab边相切，相应速度为v01，则R1+R1sinθ=
         将R1=代入上式可得，v01=
   同理，设圆心在O2处对应圆弧与cd边相切，相应速度为v02，则R2-R2sinθ=
      将R2=代入上式可得，v02=
   所以粒子能从ab边上射出磁场的v应满足．
（2）由t=及T=可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α越长，在磁场中运动的时间也越长．在磁场中运动的半径r≤R1时，
    运动时间最长，弧所对圆心角为α=（2π-2θ）=，所以最长时间为t=T==．
答：（1）粒子能从ab边上射出磁场的v大小范围为．
    （2）如果带电粒子不受上述v大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间为．