Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）求证：当时，.

Answer

（1）见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求导得，再分类讨论结合导数的意义即可得出答案；

（2）由题意只须证，根据导数求单调性与最值即可得出答案．

【解析】
（1）函数，定义域为，

所以，

当时，，在单调递减；

当时，

令，则，解得，在单调递增；

令，则，解得；在单调递减；

综上：当时，在单调递减；

当时，在单调递增，在单调递减；

（2）要证当时，，

只须证：，

而，因此，只要证：，

设，

则，

当时，单调递增；

当时，单调递减；

所以，即；

所以当时，．