Question

如图，在三角形中，，平面与半圆弧所在的平面垂直，点为半圆弧上异于的动点，为的中点.

（1）求证：；

（2）求三棱锥体积的最大值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意可知平面，则，又，再根据线面垂直的判定与性质即可得出结论；

（2）由题意得，由此可得当为半圆弧的中点时体积有最大值，从而求出答案．

（1）证＼：因为平面与半圆所在的平面垂直，交线为，

又，即，所以垂直于半圆所在平面，

而在半圆平面内，故，

又为直径，点为半圆弧上一点，故，

且，因此平面，

又平面，所以；

（2）【解析】
由题意知，点为的中点，

所以点到半圆面的距离是点到半圆面距离的一半，

因此，

而（其中为点到的距离），

当点为半圆弧的中点时，最大，且最大值为1，

因此的最大值为2，

故三棱锥体积的最大值为．