Question

已知函数()，且满足.

（1）求a的值；

（2）设函数，()，若存在，，使得成立，求实数t的取值范围；

（3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围.

Answer

（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）根据题意，代入函数值，即可求解；

（2）根据题意，求解函数和值域，若存在，，使得成立，转化为值域有交集，即可求解参数取值范围；

（3）由（1）分析函数的值域，可知时，有两根；再观察方程，同除后方程可化简为，只需使方程在上有两根，即可求解.

（1）由，得或0.

因为，所以，所以.

（2），

所以;故的值域为

因为时，在上单调递增，，

所以的值域为，由题意，

考虑到，所以，解得;

综上:实数t的取值范围是

（3）当时，，在上为增函数;

当时，.

可得在上为减函数，当时，.

方程可化为，

即.

设，方程可化为.

要使原方程有4个不同的正根，

则关于s方程在有两个不等的根，，

则有，解得，

所以实数m的取值范围为.