Question

对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，其中k为整数，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”.

（1）已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；

（2）若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；

（3）若，对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合.

Answer

（1）是，理由见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据题意，为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解，列出方程，解方程即可；

（2）由“1阶局部奇函数”的定义，列出方程，讨论方程成立并有解时参数的取值范围；

（3）根据“k阶局部奇函数”的定义，转化对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，为对任意的实数恒成立问题，讨论二次项系数是否为零，不为零时讨论恒成立，再令，求解，即可.

（1）为上的“2阶局部奇函数”等价于关于x的方程在上有解，即：，

化简得：，

解得：

所以是上的“2阶局部奇函数”.

（2）由是上的“1阶局部奇函数”，

且要满足，所以.

因为是上的“1阶局部奇函数”，等价于关于x的方程

在有解，即，化简得：，

所以，

又，所以.

（3）因为恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程恒有解.

即，化简得：，

当时，解得，所以满足题意；

当时，，即：对任意的实数恒成立，

即对任意的实数恒成立，

令，是关于t的一次函数且为上的增函数

则，即：，解得：且

综上，整数k取值的集合.