Question

已知函数有两个极值点， ，且，记点， .

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）证明：线段与曲线有且只有一个异于、的公共点.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】【试题分析】（1）先求函数的极值点，再求两极值点的坐标，运用直线的点斜式方程求出其方程；（2）依据题设条件先构造函数将问题进行等价转化，再借助导数的知识分析推证：

（Ⅰ）令，解得或，

且在区间， 上单调递增，在区间上单调递减，

， ， ， ，即， ，

直线的方程为，化简得.

（Ⅱ）设 ，

则线段与曲线的公共点即在区间上的零点.

令 ，解得， ，

且在区间， 上单调递增，在区间上单调递减.

由 可得 ，

即， ，

在区间上有且仅有有一个零点.

当时，有， 在上无零点；

当时，有， 在上无零点；

综上， 在区间上有且仅有一个零点.

所以线段与曲线有且只有一个异于、的公共点.

点睛：设置本题的目的旨在考查导数的有关知识在研究函数的单调性、最值（极值）等方面的综合运用。求解本题的第一问时，先求函数的极值点，再求两极值点的坐标，运用直线的点斜式方程求出其方程使得问题获解；解答第二问时，先构造函数将问题进行等价转化，再借助导数的知识分析推证从而使得问题巧妙获解。