Question

已知是函数的一个极值点．

（1）求；

（2）求函数的单调区间；

（3）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）单调增区间是，单调减区间是；（3）.

【解析】

试题分析：（1）先求导，再由是函数的一个极值点即求解；（2）由（2）确定，再由和求得单调区间；（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，，可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有个交点则须有求解．

试题解析：（1）因为，

所以，因此

（2）由（1）知，

，

．

当时，，

当时，，

所以的单调增区间是，

的单调减区间是

（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，

所以的极大值为，极小值为，

因此，

所以在在三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当，

因此，的取值范围为

考点：（1）函数在某点取得极值的条件；（2）利用导数研究函数的单调性.