Question

已知圆心在轴正半轴上的圆与直线相切，与轴交于两点，且

.

（1）求圆的标准方程；

（2）过点的直线与圆交于不同的两点，若设点为的重心，当的面积为

时，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）由于圆心在上，故可设圆心为，结合，有，，于是圆的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径建立方程，解方程可求得，进而求得圆的方程；（2）的面积为，所以.设出的坐标，可求得重心坐标，即，依题意直线的斜率存在，设直线方程为，联立直线的方程和圆的方程，写出根与系数关系，由此求得斜率，进而求得直线方程.

试题解析：

（1）由题意知圆心，且，

由知中，，，则，

于是可设圆的方程为

又点到直线的距离为，

所以或（舍），

故圆的方程为.

（2）的面积，所以．

若设，则，即，

当直线斜率不存在时，不存在，

故可设直线为，代入圆的方程中，可得，

则，

所以或，得或，

故满足条件的直线的方程为或.

考点：直线与圆的位置关系．

【方法点晴】涉及距离公式问题，主要有两类，一是给定点和直线，则可求相关的距离；二是已知某距离，利用距离公式确定相关的量. 涉及两直线的交点问题，往往需借助于图形，应用数形结合思想，探索解题思路，这也是解析几何中分析问题、解决问题的重要特征. 涉及两直线的交点问题，即解方程组问题；注意利用数形结合思想，将直线的交点问题与方程组求解问题灵活的加以转化.