Question

已知向量，，且，f（x）=•﹣2λ||（λ为常数），

求：（1）•及||；

（2）若f（x）的最小值是，求实数λ的值．

Answer

（1）

（2）

【解析】

试题分析：（1）根据所给的向量的坐标，写出两个向量的数量积，写出数量积的表示式，利用三角函数变换，把数量积整理成最简形式，再求两个向量和的模长，根据角的范围，写出两个向量的模长．

（2）根据第一问做出的结果，写出函数的表达式，式子中带有字母系数λ，把式子整理成关于cosx的二次函数形式，结合λ的取值范围，写出函数式的最小值，是它的最小值等于已知量，得到λ的值，把不合题意的舍去．

【解析】
（1），

，

∵，

∴cosx≥0，

∴．

（2）f（x）=cos2x﹣4λcosx=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，

∵，

∴0≤cosx≤1，

①当λ＜0时，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值﹣1，这与已知矛盾；

②当0≤λ≤1，当且仅当cosx=λ时，f（x）取得最小值﹣1﹣2λ2，

由已知得，解得；

③当λ＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值1﹣4λ，

由已知得，解得，这与λ＞1相矛盾、

综上所述，为所求．