Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在区间上无极值，求的取值范围；

（Ⅲ）已知且，求证：．

Answer

（Ⅰ） 单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ） （Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由原函数求得其导函数，利用导数的正负可求得单调区间；（Ⅱ）函数无极值即函数的极值点不在区间上，由导数求得极值点，得到关于的不等式；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中函数的最值得到，通过换元转化为，借助于对数运算法则可证明不等式

试题解析：（Ⅰ）当时，，定义域为.

令，则.

则当时，当时，

故的单调递增区间为，单调递减区间为．

（Ⅱ）令

若，则在区间上恒成立，则在区间上无极值；

若，令 ，则.

当变化时，的变化情况如下表：

＋

0

－

↗

↘

故在处取得极大值.要使在区间上无极值，则.

综上所述，的取值范围是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在处取得最大值0，

即 （当时等号成立）.

令（且），则，即

，故．

考点：函数导数与单调性极值；不等式与函数的转化