Question

已知直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为 ．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）证明：无论取何实数时，，都是定值；

（Ⅲ）记的面积分别为，试判断是否成立，并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ） （Ⅱ）详见解析（Ⅲ） 成立

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由直线与x轴交点得到抛物线焦点，进而求得抛物线方程；（Ⅱ）将直线与抛物线联立方程，利用二次方程根与系数的关系即可证明；（Ⅲ）结合抛物线定理，利用三角形面积公式可求得的值，从而判定是否成立

试题解析：（Ⅰ）【解析】
由条件知在直线上，即，

所以抛物线的方程为．

（Ⅱ） 由 得.

则.

则，即有定值，

（Ⅲ） 根据条件有．

由抛物线的定义得，

于是，，.

，

则有．

考点：抛物线方程及性质；直线与抛物线相交的相关问题