Question

设，其中是正常数，且．

（1）求函数的最值；

（2）对任意的正数，是否存在正数，使不等式成立？并说明理由；

（3）设且，证明：对任意正数都有．

Answer

（1）有最小值，没有最大值；（2）存在，理由见解析；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）首先对函数求导并令导数等于，解出的值，研究单调性，求出最值．（2）当时,令，利用导数可判断函数的符号恒为负，可将原不等式化为，令，利用导数研究此函数的最值，使原不等式成立．（3）主要还是借助于指数运算的知识构造出能够利用（1）的结论，变成两个函数（值）间的大小比较，从而最终化为函数的单调性问题．

试题解析：（1），

，，,

当时，时,.

在上单调递减，在上单调递增，

有最小值，没有最大值.

（2）对，使得成立. 其理由如下：

令，则

显然当时，，所以在上单调递减，

，即，

于是可以得当时，，则，

故等价于.

设

则

当时，，在上单调递增，

对均有恒成立，

当 时，由 可得 ，由可得 ，

于是在上是增函数，在 是减函数，

∴ 对均有 恒成立．

综上，对任意正数，都存在正数满足条件．

（3）证明：由（1）知，对时，

都有．

即，

令， 则，

在上是增函数，

考点：（1）利用导数研究函数的最值；（2）函数与导数的综合应用.