Question

已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两点，以为直径的圆与轴正半轴交于点．是否存在实数，使得的内切圆的圆心在轴上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）或.

【解析】

试题分析：（1）由椭圆：的离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，求出，由此能求出椭圆方程；（2）依题意知，设，，，则，由此能求出存在满足条件的值．

试题解析：（1）设焦点，则，从而，

由题意有，即，解得，又由，于是，解得，椭圆的方程为.

（2）依题意可知，且，

于是直线的斜率为，直线的斜率为，

则,，

，，

相加得.

联立消去，整理得，

，.

把两边同时平方，可得，

代入可得，

化简可得，或，解得，或，

即存在满足条件的值，，或.

考点：椭圆的简单性质.

【方法点晴】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审

题，在第一问中利用离心率以及过焦点且与轴垂直的弦长求出椭圆的方程，也是在高考中常见的表达形式；在第二问中利用设而不求的思想设出三点的坐标，先利用内切圆的圆心在轴上，即等价于直角的角平分线轴上，得，转化为斜率，联立直线的方程与椭圆的方程结合维达定理，代入求解.