Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f′（x）=2x+1，数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）求．

Answer

（1）利用导数知识求出数列y=f（x）的解析式．
（2）利用f（x）=x2+x，，先求出Sn的关系式，然后利用Sn与an的关系求an；
（3）由Sn=n2+n=n（n+1），知=，由此能求出．
【解析】
（1）由f′（x）=2x+1，
得f（x）=x2+x+b，（b∈R）
因为y=f（x）的图象过原点，
所以f（x）=x2+x．
（2）∵f（x）=x2+x，，
∴Sn=n2+n．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n，
又因为a1=S1=2，适合an=2n，
所以数列{an}的通项公式为an=2n．（n∈N*）（4分）
（3）∵Sn=n2+n=n（n+1），
∴=，
∴
=（1-）+（）+（）+…+（）
=1-
=．