Question

已知c＞0，设P：函数y=c^x在R上单调递减，Q：不等式x+|x-2c|＞1对任意实数x恒成立，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，求c的取值范围．

Answer

根据指数函数的单调性，可求出命题p为真时，c的取值范围；根据不等式恒成立的条件，可求出命题q为真时，c的取值范围；进而根据复合命题真假判断的真值表，可得命题p，q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果可得答案．
【解析】
若函数y=cx在R上单调递减，则0＜c＜1，
即命题p为真时，0＜c＜1，
由c＞0，故命题p为假时，c≥1，
若不等式x+|x-2c|＞1对任意实数x恒成立，则|x-2c|＞-x+1对任意实数x恒成立，
当x＞1时，-x+1＜0，|x-2c|＞-x+1恒成立
当x≤1时，-x+1≥0，若|x-2c|＞-x+1恒成立
则x-2c=0，即x=2c时，|x-2c|=0＞-x+1成立
即0＞-2c+1，即c＞，
即命题q为真时，c＞，
由c＞0，故命题q为假时，0＜c≤
由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得命题p，q一真一假：
当p真q假时，0＜c≤
当p假q真时，c≥1
故c的取值范围为（0，）∪（1，+∞）