Question

如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，PA=1，E为BC的中点．
（1）求证：PE⊥DE；
（2）求三棱锥C-PDE的体积；
（3）探究在PA上是否存在点G，使得EG∥平面PCD，并说明理由．

Answer

（1）连接AE，矩形ABCD中可证出DE⊥AE，由PA⊥平面ABCD证出PA⊥DE，从而得到DE⊥平面PAE，所以有PE⊥DE；
（2）三棱锥C-PDE即三棱锥P-CDE，算出S△DCE=，根据PA是三棱锥P-CDE的高，利用锥体体积公式即可算出三棱锥C-PDE的体积；
（3）取PA，PD的中点G，H，连接EG、GH、CH．利用矩形ABCD和三角形中位线定理，证出四边形ECHG是平行四边形，从而证出EG∥CH，结合线面平行判定定理，可得EG∥平面PCD．
【解析】
连接AE，
∵E为BC的中点，EC=CD=1，∴△DCE为等腰直角三角形，
由此可得∠DEC=45°，同理∠AEB=45°，
∴∠AED=180°-（∠DEC+∠AEB），即DE⊥AE，…（2分）
又∵PA⊥平面ABCD，且DE⊂平面ABCD，∴PA⊥DE，…（3分）
又∵AE∩PA=A，∴DE⊥平面PAE，
又∵PE⊂平面PAE，∴PE⊥DE．…（5分）
（2）由（1）知△DCE为腰长为1的等腰直角三角形，
∴S△DCE==，
∵PA⊥平面ABCD，即PA是三棱锥P-CDE的高，
∴VC-PDE=VP-CDE=×S△DCE×PA=××1=．…（8分）
（3）在PA上存在中点G，使得EG∥平面PCD，理由如下：
取PA、PD的中点G、H，连接EG、GH、CH．…（9分）
∵G、H是PA，PD的中点，∴△PAD中，可得GH∥AD且GH=AD，…（10分）
又∵E是BC的中点，且四边形ABCD为矩形，
∴EC∥AD且EC=AD，…（11分）
∴EC、GH平行且相等，可得四边形ECHG是平行四边形…（12分）
∴EG∥CH，
又∵CH⊂平面PCD，EG⊄平面PCD，…（12分）
∴EG∥平面PCD．…（11分）