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已知函数f(x)=. (1)若,求a的值; (2)t>1,是否存在a∈[1,t]...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网
(1)若manfen5.com 满分网,求a的值;
(2)t>1,是否存在a∈[1,t]使得manfen5.com 满分网成立?并给予证明;
(3)结合定积分的几何意义说明(2)的几何意义.
(1)求出原函数,可得定积分,即可求得a的值; (2)先求出定积分,再构建函数,即可证明; (3)连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分等于该区间上某个点x的函数值f(x)与该区间长度的积. 【解析】 (1)∵,∴…(3分) (2) 设,∴…(5分) 下面证明a∈[1,t]: 设g(t)=t-1-lnt(t>1)则 ∴g(t)在(1,+∞)上为增函数,当t>1时,g(t)>g(1)=0 又∵t>1时lnt>0,∴a-1>0即a>1…(8分) 设h(t)=t-1-tlnt(t>1)则 ∴h(t)在(1,+∞)上为减函数,当t>1时h(t)<h(1)=0 又∵t>1时lnt>0,∴a-t<0即a<t,∴a∈[1,t] 综上:当t>1时,存在a∈[1,t]使得成立.…(11分) (3)连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分等于该区间上某个点x的函数值f(x)与该区间长度的积,即其中x∈[a,b]…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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