Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，E，F分别是BC，PC的中点，FD⊥面ABCD且FD=1．
（1）证明：PA=PD；
（2）证明：AD⊥PB；
（3）求AP与面DEF所成角的正弦值；
（4）求二面角P-AD-B的余弦值．

Answer

（1）又D为坐标原点，建立空间坐标系，根据已知求出各点坐标，进而求出向量，的坐标，代入向量模的公式，求出两向量的模，可证得PA=PD；
（2）求出线段AD与PB的方向向量，代入向量的数量积公式，根据向量的数量积为0，两向量垂直可得AD⊥PB；
（3）设AP与面DEF所成的角为θ，求出线段AP的方向向量和平面DEF的法向量，代入向量夹角公式，可得AP与面DEF所成角的正弦值；
（4）分别求出平面PAD与平面BAD的法向量，代入向量夹角公式，根据二面角为钝二面角，可得二面角P-AD-B的余弦值
【解析】
∵ABCD是菱形且∠DAB=60°，E为BC中点，
∴AD⊥DE且，
又∵DF⊥面ABCD，
∴DA，DE，DF两两垂直，
以D为原点建立如图直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），，F（0，0，1）；
∵F为PC中点，∴
（1）∴，即PA=PD
（2），即AD⊥BP
（3）设AP与面DEF所成的角为θ，
∵DA⊥面DEF，
∴面DEF的法向量，又，
∴
∴AP与面DEF所成角的正弦值为；
（4）∵DF⊥面ABCD，∴面ABCD的法向量，
设PAD面的法向量，
则，
即，
取y=2，
∴，
∵二面角P-AD-B为钝角，
∴二面角P-AD-B的余弦值为