Question

已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（0）；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并证明之；
（Ⅲ）解不等式f（a-4）+f（2a+1）＜0．

Answer

（1）利用赋值法：取x=y=0 则可求f（0）
（2）令y=-x，代入已知可得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0，可判断
（3）先判断函数的单调性，然后由f（x）是R上的单调性及不等式f（a-4）+f（2a+1）＜0可得关于a的不等式，可求
（1）【解析】
取x=y=0 则f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
（2）f（x）是奇函数
证明：对任意x∈R，取y=-x；则f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0 
即f（-x）=-f（x）∴f（x）是R上的奇函数
（3）任意取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2=x1+△x （其中△x＞0 ）
∴f（x2）=f（x1+△x）=f（x1）+f（△x） 
∴f（x2）-f（x1）=f（△x）＞0 
即f（x2）＞f（x1） 
∴f（x）是R上的增函数对于不等式f（a-4）+f（2a+1）＜0；∴f（2a+1）＜-f（a-4）=f（4-a） 
∴2a+1＜4-a 
即a＜1