Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁；
（3）求三棱锥D-PAC的体积．

Answer

（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，易证PO∥BD1，由线面平行的判定定理即可证得直线BD1∥平面PAC；
（2）由于四边形ABCD为正方形，BD⊥AC，易证AC⊥平面BDD1，由面面垂直的判定定理即可证得平面PAC⊥平面BDD1；
（3）由VD-PAC=VA-PDC即可求得三棱锥D-PAC的体积．
【解析】
（1）设AC∩BD=O，连接OP，
∵O，P分别为BD，D1D中点，
∴BD1∥OP…3′
∵OP⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，
∴BD1∥平面PAC…5′
（2）∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴D1D⊥AC…7′
又AC⊥BD，D1D∩BD=D，
∴AC⊥平面BDD1…9′
∵AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面BDD1…10′
（3）∵PD⊥平面ADC，（12分）
∴VD-PAC=…14′