Question

点O为坐标原点，点F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，过点F₁的直线l交椭圆于A、B两点．若l倾斜角为，则A、B两点到左准线的距离之和为，右焦点到l的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）求△AOB面积的最大值．

Answer

（1）设焦距为2a，c＞0，由点（c，0）到y=-x-c距离为，得c=1．左准线，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由，得（a2+b2）x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0，由此能求出椭圆的方程．
（2）设l：y=k（x+1），k≠0，由，得（2k2+1）x2+4k2x2+2k2-2=0，故，，△=8（k2+1）＞0，所以=2．点O到AB距离为，由此能求出△AOB面积的最大值．
【解析】
（1）设焦距为2a，c＞0，由点（c，0）到y=-x-c距离为，得c=1．
故左准线，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
由，
得（a2+b2）x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0，
∴，
∴，
∴a2=2，
∴椭圆的方程为：．
（2）设l：y=k（x+1），k≠0，
由，得（2k2+1）x2+4k2x2+2k2-2=0，
∵，，△=8（k2+1）＞0，
∴
=
=2．
点O到AB距离为，
∵△AOB面积=，
∴=，
当l：x=-1时，，
故在l：x=-1时△AOB面积的最大值为．