Question

直线与抛物线x²=8y交于A、B两点，点M（x，y）（x＞0）是抛物线上到焦点距离为4的点．
（1）求点M的坐标；
（2）求△ABM的外接圆的方程．

Answer

（1）由抛物线x2=8y得：其准线为y=-2，焦点为（0，2），根据点M（x，y）（x＞0）是抛物线上到焦点距离为4的点，可得M到准线距离为4，从而可知M的纵坐标为2，代入抛物线x2=8y方程知横坐标为4，从而可求点M的坐标；
（2）由直线与抛物线x2=8y得点A、B坐标分别为（-4，2）（8，8）．由于M和A关于y轴对称，所以可设△ABM的外接圆方程为x2+（y-b）2=r2，代入A、B 两点坐标得，从而可求△ABM的外接圆方程．
【解析】
（1）由抛物线x2=8y得：其准线为y=-2，焦点为（0，2）
∵点M（x，y）（x＞0）是抛物线上到焦点距离为4的点
∴M到准线距离为4，
∴M的纵坐标为2，代入抛物线x2=8y方程知横坐标为4，
故点M的坐标为（4，2）
（2）由直线与抛物线x2=8y得点A、B坐标分别为（-4，2）（8，8）．
由于M和A关于y轴对称，所以可设△ABM的外接圆方程为x2+（y-b）2=r2，
代入A、B 两点坐标得
∴b=9，r2=65，
所以△ABM的外接圆方程为x2+（y-9）2=65