Question

已知双曲线C经过点且渐近线方程为y=±x，直线l的方程为y=kx+m．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若m=-1，且直线l与C有且仅有一个公共点，求k的值；
（3）若，求直线l与C的两个交点A、B的中点M的轨迹方程．

Answer

（1）由渐近线方程为y=±x，设C的方程为：x2-y2=λ（λ≠0），由双曲线C经过点，得9-8=λ，由此能求出双曲线C的方程．
（2）m=-1时，l：y=kx-1，由，得（k2-1）x2-2kx+2=0，由此能求出k的值．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），把A（x1，y1），B（x2，y2）代入x2-y2=1，得，故（）-（）=0，由此能求出M的轨迹方程．
【解析】
（1）∵双曲线C经过点且渐近线方程为y=±x，
∴设C的方程为：x2-y2=λ（λ≠0），
把点代入，得9-8=λ，
∴λ=1．
故双曲线C的方程：x2-y2=1．
（2）m=-1时，l：y=kx-1，
由，得（k2-1）x2-2kx+2=0，
∵直线l与C有且仅有一个公共点，
∴k2-1≠0，且△=8-4k2=0，或k2-1=0，
解得∴k=，或k=±1．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入x2-y2=1，
得，
∴（）-（）=0，
即（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0
设M（x，y），
∵A、B的中点是M，
∴x1+x2=2x，y1+y2=2y，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵|k|＞1，
∴x，
故M的轨迹方程：．