Question

如图，直线l₁和l₂相交于点M且l₁⊥l₂，点N∈l₁．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，，|AN|=3，且|BN|=6．
（1）曲线段C是哪类圆锥曲线的一部分？并建立适当的坐标系，求曲线段C所在的圆锥曲线的标准方程；
（2）在（1）所建的坐标系下，已知点P（m，n）在曲线段C上，直线l：mx+ny=1，求直线l被圆x²+y²=1截得的弦长的取值范围．

Answer

（1）由题设知曲线段C是抛物线的一部分．分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0），依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，由此能求出曲线段C的方程．
（2）由点P（m，n）在曲线段C上，知n2=8m（1≤m≤4，n＞0），圆x2+y2=1的圆心到直线l：mx+ny=1的距离为，则直线l被圆x2+y2=1截得的弦长==，（1≤m≤4），由此能求出直线l被圆x2+y2=1截得的弦长的取值范围．
【解析】
（1）∵直线l1和l2相交于点M且l1⊥l2，点N∈l1．
以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．
△AMN为锐角三角形，，|AN|=3，且|BN|=6．
∴曲线段C是抛物线的一部分．
如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．
作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．
设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）
依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，
yA=|DM|=
由于△AMN为锐角三角形，
故有xN=|ME|+|EN|=|ME|+=4，
xB=|BF|=|BN|=6．
设点P（x，y）是曲线段C上任一点，
则由题意知P属于集合
{（x，y）|（x-xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0}
故曲线段C的方程为y2=8（x-2）（3≤x≤6，y＞0）．
（2）∵点P（m，n）在曲线段C上，
∴n2=8m（1≤m≤4，n＞0），
圆x2+y2=1的圆心到直线l：mx+ny=1的距离为，
则直线l被圆x2+y2=1截得的弦长
==，（1≤m≤4），
∵1≤m≤4，
∴9≤m2+8m≤48，
∴，
∴，
∴直线l被圆x2+y2=1截得的弦长的取值范围为[]．