Question

在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为的圆C经过坐标原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）是否存在直线l：x-y-m=0与圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点恰在抛物线x²=4y上，若l存在，请求出m的值，若l不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意，设圆心坐标为（a，a+4），利用半径为的圆C经过坐标原点O，可得a2+（a+4）2=8，从而可得圆心坐标，进而可求圆C的方程；
（2）将直线l：x-y-m=0与圆C联立，消去y可得：2x2-2mx+m2+4m=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=m
，y1+y2=x1+x2+2m=3m，利用线段AB的中点恰在抛物线x2=4y上，可求得m=0或m=24，再验证△=4m2-8（m2+4m），即可知是否存在．
【解析】
（1）由题意，设圆心坐标为（a，a+4）
∵半径为的圆C经过坐标原点O
∴a2+（a+4）2=8
∴a2+4a+4=0
∴a=-2
∴圆心坐标为（-2，2）
∴圆C的方程：（x+2）2+（y-2）2=8
（2）将直线l：x-y-m=0与圆C联立，消去y可得：2x2-2mx+m2+4m=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=m
∴y1+y2=x1+x2+2m=3m
∵线段AB的中点恰在抛物线x2=4y上
∴满足方程x2=4y
∴
∴m=0或m=24
当m=0时，△=4m2-8（m2+4m）=0，不符合题意．
当m=24时，△=4m2-8（m2+4m）＜0
所以不存在直线l：x-y-m=0与圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点恰在抛物线x2=4y上