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设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x...

设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=0.
(1)求m的值;
(2)求直线PQ的方程.
(1)曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对称,说明曲线是圆,直线过圆心,易求m的值; (2)设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程为y=-x+b.联立方程组,结合韦达定理,以及•=0. 求得k的方程,然后求直线PQ的方程. 【解析】 (1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆. ∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称, ∴圆心(-1,3)在直线上.代入得m=-1. (2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直, ∴设P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ方程为y=-x+b. 将直线y=-x+b代入圆方程,得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0. △=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0,得2-3<b<2+3. 由韦达定理得x1+x2=-(4-b),x1•x2=. y1•y2=b2-b(x1+x2)+x1•x2=+4b. ∵•=0,∴x1x2+y1y2=0, 即b2-6b+1+4b=0. 解得b=1∈(2-3,2+3). ∴所求的直线方程为y=-x+1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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