Question

△ABC的外接圆半径为1，且满足下列三个条件：
①； ②；  ③．
（Ⅰ）试判断△ABC的形状； （Ⅱ）求的值．

Answer

（Ⅰ）由条件①中等号右边的第二项变形后，前两项提取，利用平面向量的减法法则计算后，得到，根据平面向量的数量积运算法则得到CA与CB垂直，从而得到∠C为直角，确定出三角形为直角三角形；
（Ⅱ）由条件②得到M为AB中点，由条件③得到C为MN中点，根据第一问得到∠C为直角，故以C为原点，CA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设出A和B的坐标，利用勾股定理表示出|AB|的长，由直角三角形的外接圆半径为1，得出斜边长为2，即|AB|=2，列出关于a与b的等式，利用中点坐标公式表示出M及N的坐标，进而表示出和，利用平面向量数量积运算法则计算后，把得出的a与b的等式代入即可求出值．
【解析】
（Ⅰ）由条件①知：
（3分）
∴．即CA⊥CB．
∴△ABC为直角三角形；（5分）

（Ⅱ）由条件②知M为AB的中点，（6分） 由条件③知C为MN的中点．（7分）
以C为原点，CA所在直线为x轴建立直角坐标系．
设A（a，0），B（0，b），又△ABC的外接圆半径为1，
则有．（8分）
∴，
∴，
∴．（12分）