Question

如图，已知点A（4，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合，M为 BC中点．
（Ⅰ）求该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（Ⅱ）求BC所在直线的方程．

Answer

（Ⅰ）将点A（4，8）代入抛物线y2=2px，解得p=8，求出方程及焦点．
（Ⅱ）利用重心的定义，得出M点的坐标为（4，-4），再利用差分法求BC所在直线的方程．
【解析】
（Ⅰ）由点A（4，8），在抛物线y2=2px上解得p=8，
∴抛物线的方程为y2=16x，焦点F的坐标（4，0）
（Ⅱ）∵△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合
由B（x1，y1），C（x2，y2）得：
∴x1+x2=8，y1+y2=-8，M点的坐标为（4，-4）
由B，C在抛物线y2=16x上，两方程作差y12-y22=16（x1-x2）
∴直线BC的斜率
∴BC所在直线的方程为y+4=-2（x-4），即2x+y-4=0