Question

以下给出的是用条件语句编写的程序，根据该程序回答
READ   x
IF     x＜a    THEN   y=-x²+ax+b
ELSEy=x²-ax+b
END   IF
PRINT   y
END
（Ⅰ） 求证：输入x的值互为相反数则输出的y值也互为相反数的充要条件是a²+b²=0；
（Ⅱ） 设常数，若在[0，1]随机输入x，则输出的y值为负，求实数a的取值范围．

Answer

（I）充要条件的证明必须分清充分性与必要性．充分性是指若a2+b2=0时，判断f（x）是奇函数；必要性是由f（x）是奇函数，判断a2+b2=0；
（II）由于，故当x=0时，a取任意实数不等式恒成立，
当．所以只需对x∈（0，1]，（1），（2）．下面只需要对（1）式，（2）式，分别研究即可得实数a的取值范围．
【解析】
（I）充分性：若a2+b2=0时，即a=b=0，所以f（x）=x|x|．∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），对一切x∈R恒成立，∴f（x）是奇函数；
必要性：若f（x）是奇函数，则对一切x∈R，f（-x）=-f（x）恒成立，即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b．
令x=0，得b=-b，所以b=0．
再令x=a，得2a|a|=0，∴a=0，即a2+b2=0．
（II）∵，∴当x=0时，a取任意实数不等式恒成立，
故考虑．∴
对（1）式，由b＜0时，在为增函数，∴．∴a＞1+b．（3）
对（2）式，当．
当，∴．∴．（4）
由（3）、（4），要使a存在，必须有．
∴当．
当为减函数，（证明略）
综上所述，当的取值范围是；
当b＜-1时，a的取值范围是（1+b，1-b）．