Question

设f（x）=ax²+8x+3（a∈R）．
（1）若g（x）=x•f（x），f（x）与g（x）在x同一个值时都取极值，求a；
（2）对于给定的负数a，当a≤-8时有一个最大的正数M（a），使得x∈[0，M（a）]时，恒有|f（x）|≤5．
（i）求M（a）的表达式；
（ii）求M（a）的最大值及相应的a的值．

Answer

（1）先求得f（x）在时取得极值．由于f（x）与g（x）在x同一个值时都取极值，故由g'（x）=3ax2+16x+3知
，从而渴求的故．
（2）（i）先求得．再分类讨论：当，即-8＜a＜0时，此时不满足条件；当，即a≤-8时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，而M（a）要最大，只能是ax2+8x+3=-5的较大根，故可求；
（ii）由 由于a≤-8，故可求
【解析】
（1）易知a≠0，f（x）在时取得极值．
由g（x）=ax3+8x2+3x得g'（x）=3ax2+16x+3
由题意得：．故．
经检验时满足题意．
（2）（i）因．∴．
情形一：当，即-8＜a＜0时，此时不满足条件．
情形二：当，即a≤-8时，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
而M（a）要最大，只能是ax2+8x+3=-5的较大根，则．
∴
（ii） ，
∴当a=-8时，．