Question

设函数f（x）=x³+3x²+6x+14，且f（a）+f（b）=20，则a+b=    ．

Answer

根据f（x）=x3+3x2+6x+14可将f（x）变形为f（x）=（x+1）3+3（x+1）+10然后根据f（a）+f（b）=20可得（a+1）2+3（a+1）+（b+1）2+3（b+1）=0注意到此方程的对称性可构造函数F（x）=x3+3x则上式可变形为F（a+1）=-F（b+1）故需判断出函数F（x）的奇偶性和单调性即可求解．
【解析】
∵f（x）=x3+3x2+6x+14
∴f（x）=（x+1）3+3（x+1）+10
∵f（a）+f（b）=20
∴（a+1）2+3（a+1）+（b+1）2+3（b+1）=0①
令F（x）=x3+3x，，
则F（-x）=-F（x）
∴F（x）为奇函数
∴①式可变为F（a+1）=-F（b+1）
即F（a+1）=F（-b-1）
∵F（x）=x3+3x为单调递增函数
∴a+1=-b-1
∴a+b=-2
故答案为-2