Question

如图，已知双曲线（b＞a＞0）且a∈[1，2]，它的左、右焦点为F₁，F₂，左右顶点分别为A、B．过F₂作圆x²+y²=a²的切线，切点为T，交双曲线与P、Q两点．
（Ⅰ）求证直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直．
（Ⅱ）若M为PF₂的中点，O为坐标原点，|OM|-|MT|=1，|PQ|=λ|AB|，求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先根据双曲线的性质表示出渐近线方程，设出PQ的方程，根据与圆相切求得圆心到直线的距离为半径求得k的表达式，进而把两渐近线的斜率相乘即可．
（Ⅱ）设出PF的直线方程与双曲线方程联立，消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用弦长公式表示出|PQ|，同时依题意可知，，推断出|F2M|-|MT|=a+1，进而求得b和a的关系式，然后利用|PQ|和|AB|，表示出λ，利用换元法令t=2a+1，利用函数的单调性求得λ的范围．
【解析】
（Ⅰ）双曲线的渐近线为，
设直线PQ的方程为y=k（x-c），（不妨设k＜0），由于与圆x2+y2=a2相切，
∴，即，直线PQ的斜率，
因为一三象限的渐近线为，．
所以直线PQ与双曲线的一条渐近线垂直；
（Ⅱ）
得（b2-a2k2）x2+2a2k2cx-a2k2c2-a2b2=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，
所以
=
=，
因为，，，|OM|-|MT|=1，
代入上式得|F2M|-|MT|=a+1，
又，
所以b=a+1．
因为|AB|=2a，，
λ=，
令t=2a+1，则，t∈[3，5]，，
因为在[3，5]为增函数，所以．