Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，（n∈N^*）在曲线上，且a₁=1，a_n＞0．
（1）求证：数列是等差数列，并求a_n；
（2）数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足，设定b₁的值，使得数列{b_n}是等差数列；
（3）求证：（n∈N^*）．

Answer

（1）、将（n∈N*）代入f（x）的表达式中即可求出为定值便证明了数列是等差数列，将a1=1，d=4代入即可求出an的表达式；
（2）将（1）中求得的an的通项公式代入（2）中的公式便可求出Tn的表达式，进而求得bn的通项公式，根据bn的通项公式即可证明bn为等差数列；
（3）根据（1）中求得的an的通项公式先证明an≥（），即可证明数列an的前n项和（n∈N*）．
【解析】
（1）由于，
∴
∴．
∴=1+4（n-1）
an2=，∵an＞0
∴an=（n∈N*）…（3分）

（2），
，

则Tn=（4n-3）n=4n2-3n，n∈N*，
∴bn=8n-7，n∈N*
又∵bn+1-bn=8
∴此时数列{bn}是等差数列且b1=1．…（6分）

（3）∵…（10分）