Question

已知数列{b_n}中，，，数列{a_n}满足：．
（1）求a₁，a₂；
（2）求证：a_n+1+2a_n+1=0；
（3）求数列{a_n}的通项公式；
（4）求证：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1（n∈N^*）

Answer

（1）根据，求得，从而；
（2）将代入得到：即可证得：an+1+2an+1=0；
（3）由（2）所得结论变形得到：从而得出数列是以-2为首项，公比为-2的等比数列，最后利用等比数列的通项公式即可求出数列{an}的通项公式；
（4）由（3）得出数列{an}的通项公式写出数列bn，下面对n进行奇偶数讨论：①当n为偶数时②当n为奇数时，分别利用等比数列的前n项结合不等式的放缩即可得到证明．
【解析】
（1）∵∴∴…（3分）
（2）证明：∵∴an+1+2an+1=0…（5分）
（3）∵an+1=-2an-1∴…（6分）
又 ∴数列是以-2为首项，公比为-2的等比数列…（7分）
∴∴…（8分）
（4）∴
当n为奇数时（-1）nbn+（-1）n+1bn+1==，
①当n为偶数时，（-1）b1+（-1）2b2+…+（-1）nbn，
②当n为奇数时，（-1）b1+（-1）2b2+…+（-1）nbn=…（11分）
综上所述：（-1）b1+（-1）2b2+…+（-1）nbn＜1…（12分）