Question

已知函数f（x）=，g（x）=．
（1）当t=8时，求函数y=f（x）-g（x）的单调区间：
（2）求证：当t＞0时f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立；
（3）若存在正实数x，使得g（x）≤4x-对任意正实数t都成立，请直接写出满足这样条件的-个x的值（不必给出求解过程）．

Answer

（1）求导，利用导数求函数的单调区间．
（2）利用导数求函数的最值．
（3）由（2）直接写出满足条件的x的值．
【解析】
（1）当t=8时，g（x）=4x-，y=f（x）-g（x）=，
y'=x2-4，由y'＞0，得x＞2或x＜-2，
由y'＜0，得-2＜x＜2，
即函数y=f（x）-g（x）的单调的递增区间为（-∞，-2）和（2，+∞）．
单调递减区间为（-2，2）．
（2）设h（x）=f（x）-g（x），
则，由得．
当x变化时，h'（x），h（x）的变化情况如下表：

 x  （0，）    （，+∞）
 h'（x） -   +
 h（x）  单调递减 极小值   单调递增

所以h（x）在（0，+∞）上有唯一的极小值，所以h（x）在（0，+∞）上的最小值=0．
故当t＞0时f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立．
（3）若存在正实数x=2使得g（x）≤4x-对任意正实数t都成立．