Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，a₂=2，b₁=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有a_i+b_j=a_k+b_l，则的值是    ．

Answer

先求出b2的值，然后分别判定数列{an}，{bn}的特征，然后利用求和公式分别求出两数列的和，将2012代入求出所求即可．
【解析】
∵对任意的正整数m，n，p，q，当m+n=p+q时，都有am+bn=ap+bq，
∴a2+b1=a1+b2，将a1=1，a2=2，b1=2，代入可得b2=3
∵1+（n+1）=2+n
∴a1+bn+1=a2+bn，即bn+1-bn=1
∴数列{bn}是等差数列首项为1，公差为1，则Tn=
∵（n+1）+1=n+2
∴an+1+b1=an+b2 则an+1-an=1
∴数列{an}是等差数列首项为2，公差为1，则Sn=
∴=S2012+T2012=（1006×2015+1006+2013）=2014
故答案为：2014