Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）由Sn=2an-n，分别令n=1，n=2，n=3，代入到递推公式可求
（Ⅱ）由Sn=2an-n，可得Sn-1=2an-1-（n-1），（n≥2），两式相减得an=2an-1+1，则可得an+1=2（an-1+1），（n≥2，n∈N*）则数列{an+1}是等比数列，利用等比数列的通项公式可求
an+1，进而可求an
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）因为Sn=2an-n，
令n=1，可得a1=S1=2a1-1
∴a1=1…（3分）
令n=2，可得1+a2=S2=2a2-2
∴a2=3
令n=3，可得1+3+a3=S3=3a3-3
∴a3=7．…（6分）
（Ⅱ）因为Sn=2an-n，
所以Sn-1=2an-1-（n-1），（n≥2，n∈N*）…（8分）
两式相减得an=2an-1+1，
所以an+1=2（an-1+1），（n≥2，n∈N*）…（10分）
又因为a1+1=2，所以数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列
所以an+1=2n，
所以an=2n-1．…（12分）