Question

已知函数，，．

（1）若函数在区间上不是单调函数，试求的取值范围；

（2）直接写出（不需要给出演算步骤）函数的单调递增区间；

（3）如果存在，使函数，在处取得最小值，试求的最大值．

Answer

（1）．  （2）时，增区间为；当时，增区间为．（3）的最大值为，此时唯有符合题意．

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。根据函数在给定区间的单调性，求解参数的取值范围，以及能利用导数的符号与单调性的关系，求解函数的单调区间，并能求解给定函数在区间的最值问题的综合运用。

（1）首先要是函数在给定区间单调递增，则说明导函数恒大于等于零。分离参数求解参数的取值范围。如果不单调，则说明导函数在给定区间内有不重复的零点即可。

（2）利用给定的函数分析a的范围，分别讨论得到单调区间。

（3）要研究不等式在给定区间恒成立问题，可以构造函数研究函数的最值即可来得到。

（1）法一：由题意知，在区间内有不重复的零点．

故只需满足：，即∴  

法二：由题意知，在区间内有不重复的零点．

由 ，得 ，∵ ， ∴ ．

令，则，故在区间上是增函数，其值域为，从而的取值范围为．   ………… 4分

（2）当时，不存在增区间；当时，增区间为；

当时，增区间为；当时，增区间为．   8分

（3），据题意知，在区间上恒成立，即         ①

当时，不等式①恒成立；

当时，不等式①可化为      ②

令，由于二次函数的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又，

∴ 不等式②恒成立的充要条件是， …………  10分

即，亦即 ，

∵ 这个关于的不等式在区间上有解

∴ ，即 ，，

解得 ，又，

故，从而的最大值为，此时唯有符合题意